|
 11 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Д. А. Тимашев
Алгебраические группы преобразований и эквивариантная симплектическая геометрия
Аннотация.
За последние пару десятилетий наметилось активное взаимодействие между
такими изначально не самыми близкими друг к другу областями математики
как алгебраическая геометрия и симплектическая геометрия. В докладе
будет рассказано о некоторых аспектах этого взаимодействия, в которых
участвуют алгебраические группы преобразований.
С середины 80-х годов XX в., начиная с пионерской работы Луны-Вюста
(1983), активно развивается теория эквивариантных компактификаций
(более общо, открытых вложений) однородных пространств редуктивных
алгебраических групп. Важные инварианты, играющие роль в теории, –
сложность действия редуктивной группы $G$, определяемая как
коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы $B\lt G$, и ранг
действия, который можно определить как ранг фундаментальной группы
типичной $B$-орбиты. В работах Кнопа 90-х годов была обнаружена связь
между этими и другими инвариантами $G$-многообразия, с одной стороны, и
симплектическими инвариантами индуцированного гамильтонова действия
группы $G$ на его кокасательном расслоении, с другой стороны.
Многообразия сложности 0, называемые сферическими, допускают наиболее
интересную и содержательную теорию. Они содержат открытую $G$-орбиту –
сферическое однородное пространство. К их числу относятся многие
классические пространства – многообразия флагов, симметрические
пространства и др. Сферические пространства естественно возникают и
в эквивариантной симплектической геометрии – одна из их характеризаций
заключается в коммутативности алгебры инвариантных функций на
кокасательном расслоении относительно скобки Пуассона. Это свойство и
его «квантовая» версия – коммутативность алгебры инвариантных
дифференциальных операторов на однородном пространстве – имеют важные
приложения в гармоническом анализе. Класс однородных пространств
с этим свойством активно изучался еще в прошлом веке (Гельфанд,
Хелгасон), а в прошлом десятилетии – Винбергом и его учениками.
Результаты о структуре гамильтоновых действий редуктивных групп на
кокасательных расслоениях делают естественным рассмотрение более
общего класса гамильтоновых алгебраических многообразий. В совместных
работах В. С. Жгуна и докладчика рассматривались гамильтоновы
многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями. Было
показано, что они весьма близки по своим свойствам к кокасательным
расслоениям указанных подмногообразий, в частности, у них совпадают
образы отображения моментов. Обобщение этих результатов на некоторые
коизотропные подмногообразия позволило бы концептуально доказать
известную гипотезу Элашвили об индексах централизаторов элементов
полупростой алгебры Ли, имеющую значение в теории интегрируемых
систем.
Необходимые понятия будут по мере возможности введены и
проиллюстрированы примерами в ходе доклада.
18 февраля 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
С. И. Адян
Новые оценки нечётных периодов, при которых свободные бернсайдовы группы бесконечны
Аннотация.
В докладе будет рассказано о современном состоянии исследований по
известной проблеме Бернсайда о периодических группах. Отрицательное
решение этой проблемы было впервые опубликовано в 1968 году
в совместной работе П. С. Новикова и докладчика для нечётных периодов
$n>4381$, а значит, и всех кратных им периодов.
Будут изложены основные идеи и определения усовершенствованного
автором в последние годы варианта доказательства бесконечности
свободных периодических групп достаточно большого нечётного периода.
Новое доказательство позволяет понизить известную до сих пор нижнюю
границу периодов с 665 до 101. Граница 665 для нечётных периодов была
установлена докладчиком в его монографии 1975 года и с тех пор никем
не была улучшена. В изданной в 1982 году и переведённой на русский
язык монографии В. Магнуса и Б. Чандлера по истории комбинаторной теории
групп было отмечено, что проблема Бернсайда по своему влиянию на
теорию групп аналогична известной проблеме Ферма в теории чисел, а
решение этой проблемы, изложенное в монографии С. И. Адяна, было названо
«возможно, самой трудной для чтения среди всех работ по математике,
которые когда-либо были написаны». Новое доказательство существенно
проще и короче того, что было опубликовано в 1975 году.
Фотогалерея
24 декабря 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
В. А. Быковский
Дискретные обмотки тора и приложения
Аннотация.
В 1782 году, в работе о вековых возмущениях долготы перегелия
планетных орбит, Лагранж ввел понятие «среднего движения».
Изучение этого вопроса в работах Боля,
Серпинского и Германа Вейля
привело к созданию теории равномерного распределения дискретных
обмоток на торе.
В конце 50-х годов XX века это направление исследований
оказалось в центре внимания специалистов в связи с задачей
построения эффективных квадратурных формул для вычисления
кратных интегралов. В работах Коробова, Пятецкого-Шапиро,
Бахвалова, Главки и других, дискретные обмотки тора были
положены в основу численных методов решения интегральных
уравнений из теории переноса нейтронов.
В докладе будет рассказано о новых результатах по этому направлению
исследований на стыке теории чисел и прикладной математики.
|
Лауреатом премии ММО за 2013 г. стал Евгений Александрович Горский.
Премия присуждена за цикл работ
«Гомологии алгебраических узлов».
The Eugene B. Dynkin Collection of Mathematics Interviews
Обращение Президента ЕМО.
Резолюция заседания ММО от 08.02.2011 о проекте новых стандартов
образования.
|
