24 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. И. Эстеров
Дискриминант системы уравнений

Аннотация. Многие геометрические объекты можно рассматривать как обобщения дискриминанта и результанта многочлена одной переменной: дискриминант Гельфанда–Капранова–Зелевинского для многочлена многих переменных, дискриминант деформации изолированной особенности, sparse результант в символьной алгебре и т.д. После краткого обзора их определений, свойств и мотивировок будет предложено еще одно обобщение — дискриминант системы уравнений, «интерполирующий» вышеперечисленные понятия, наследующий многие их интересные свойства и не наследующий трудности.
   Назовем систему алгебраических уравнений типичной, если топологический тип множества ее решений не меняется при шевелении ее ненулевых коэффициентов. Тогда (за исключением очевидных бессодержательных случаев) множество всех нетипичных систем является гиперповерхностью, уравнение которой и предлагается называть дискриминантом исходной системы.
   Тот факт, что нетипичные уравнения образуют гиперповерхность, был замечен Гельфандом, Капрановым и Зелевинским, но для систем доказательство наталкивается на неожиданные сложности комбинаторики многогранников и сводится к другому факту о чистоте размерности, но уже для тропических многообразий. Это новый пример загадочного сходства между классической алгебраической геометрией и тропической (над $R$ с операциями + и min), которое уже научились использовать для угадывания и красивой формулировки ответов, но еще так и не научились удовлетворительно объяснять.
   Доклад не требует специальных знаний и, по модулю отдельных замечаний, будет доступен студентам.

 10 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. В. Булинский
Новые статистические методы и их применение к анализу генетических данных

Аннотация. Считается, что сложные заболевания (такие как диабет, болезнь Альцгеймера и другие) обусловлены как генетическими, так и внешними факторами риска. Очень сложной является задача выявления наиболее значимых наборов факторов, способных вызвать то или иное заболевание. В докладе рассматриваются различные постановки этой задачи. В частности, доказана оптимальность определенных стохастических алгоритмов, опирающихся на кросс-валидацию. Для этого используются варианты законов больших чисел в схеме серий. Большое внимание уделяется многофакторному понижению размерности (MDR-методу), введенному M. D. Ritchie et al. Установлена теорема, дающая обоснование для применения этого метода. Кроме того, получена новая версия метода MDR «с независимым правилом», предложенная докладчиком и его соавторами. Обсуждаются и различные варианты метода логической регрессии, инициированного I. Ruczinski et al., а также возможности современных методов стохастической оптимизации (метод отжига). Затрагиваются также методы машинного обучения. Нами показано, что сочетание техники кросс-валидации, бутстрэпа и некоторых усреднений сглаженных оценок позволяет повысить качество оценивания функции отклика.
   Указанные выше методы и подходы используют аппарат теории графов, марковские и гиббсовские случайные поля, а также комбинаторный анализ. Их применение будет продемонстрировано при изучении влияния генетических данных (нуклеотидных полиморфизмов) и внешних факторов на риски сердечно-сосудистых заболеваний. Это исследование было начато в 2010 году в рамках общего проекта, осуществляемого в сотрудничестве с факультетом фундаментальной медицины МГУ (руководители проекта академики РАН В. А. Садовничий и В. А. Ткачук). При реализации разрабатываемых методов был использован суперкомпьютер МГУ «Чебышев».

Фотогалерея

 3 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Доклад из цикла «СТУДЕНЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ».

Н. Г. Мощевитин
О некоторых нерешенных проблемах теории диофантовых приближений

Аннотация. Будет рассказано о некоторых известных нерешенных проблемах, таких как проблема Литтлвуда в геометрии чисел, проблема Зарембы в теории цепных дробей, проблема Салема о коэффициентах Фурье функции Минковского. Предполагается рассказать и о некоторых новых и не столь известных задачах.
   В докладе будут затронуты вопросы связанные с геометрией наилучших диофантовых приближений, с неравенствами для диофантовых экспонент и с плохо приближаемыми системами чисел.
   Будет рассказано о задачах В. М. Шмидта, сформулированных им в лекции "Open problems in Diophantine approximation" на конференции в Люмини (1982) и о дальнейшей судьбе этих задач, три из которых были решены докладчиком. Также будет рассказано о задаче В. М. Шмидта о последовательных минимумах решеток, сформулированной им во время визита в Москву в мае 2011 года.
   У докладчика в архиве имеется обзор, связанный с тематикой предполагаемого выступления и доступный по адресу http://arxiv.org/abs/1202.4539.

Фотогалерея

 27 марта 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Р. Н. Карасев
Метод Громова в задачах дискретной геометрии

Аннотация. В 2010 году Михаил Громов опубликовал статью, в которой он разработал новый топологический подход (стягивание в пространстве циклов) к некоторым задачам дискретной геометрии. Типовая задача имеет следующий вид: в евклидовом пространстве размерности $d$ рассматриваются независимые случайные точки в количестве $d+1$, и хочется показать, что некоторая точка всегда покрывается выпуклой оболочкой этих случайных точек (симплексом) с вероятностью не менее $p_d>0$, зависящей только от размерности. Это утверждение было известно и ранее, но метод Громова увеличил известное значение $p_d$ до $1/(d+1)!$ с возможностью дальнейшего улучшения.
   Автору удалось существенно упростить доказательство приведенного выше факта, а также доказать аналогичным методом утверждение о размере связных одноцветных компонент раскраски куба. Эти утверждения будут изложены с доказательствами.

Фотогалерея

 20 марта 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Татьяна Смирнова-Нагнибеда
Динамика модели песчаных куч и самоподобные группы

Аннотация. Абелева модель песчаных куч (Abelian sandpile model) была построена физиками для изучения феномена самоорганизованной критичности. Модель определяется с помощью очень простой игры на конечном графе, но ведет к сложной динамике, если рассматривать ее на возрастающих последовательностях графов. Физиками предсказаны значения критических показателей модели на кубических решетках, но строгое математическое обоснование этих предсказаний пока что получено только в случае бесконечного дерева. Будет дано введение в математическую теорию модели песчаных куч и рассказано о том, как теория самоподобных групповых действий позволяет строго вычислить критические экспоненты модели на широком классе самоподобных графов, связанных с хорошо известными фракталами.
   Теория самоподобных групп была развита Некрашевичем на основании работ Григорчука и соавторов по построению конечно порожденных групп с экзотическими свойствами, например, групп промежуточного роста. Самоподобные группы задаются своим действием на бесконечном корневом дереве и могут быть описаны с помощью конечных автоматов. Многие такие группы тесно связаны с динамикой рациональных функций и их множествами Жюлиа.

Фотогалерея

Правление ММО объявляет прием работ на соискание премий ММО для молодых математиков за 2012 г.

The Eugene B. Dynkin Collection of Mathematics Interviews

Обращение Президента ЕМО.

Резолюция заседания ММО от 08.02.2011 о проекте новых стандартов образования.